Prépare ton BEPC en Maths !
Ce guide interactif reprend toutes les notions essentielles depuis la 1ère Année Secondaire jusqu'au Brevet. Résumés, exercices corrigés, simulations géométriques et fiches de révision — tout pour réussir.
📘 Résumés des notions clés
Fractions, racines carrées, puissances, développement, factorisation, Pythagore, Thalès, proportionnalité, aires et volumes.
🔬 Exemples & Simulations
Exercices résolus pas à pas avec figures géométriques interactives et visualisations dynamiques.
✏️ Exercices interactifs
QCM et exercices numériques avec correction automatique et suivi du score en temps réel.
✅ Corrigés détaillés
Solutions complètes avec astuces et rappels méthodologiques pour chaque exercice.
⚡ Fiches de révision
Formules condensées et propriétés essentielles à retenir pour le jour J.
🔢 Nombres et calculs – Priorités opératoires
Ordre de priorité : parenthèses → puissances → multiplications/divisions → additions/soustractions.
Règle des signes : (+)×(+) = + | (−)×(−) = + | (+)×(−) = − | (−)×(+) = −
🧮 Fractions
Simplifier : a×k / b×k = a/b
Exemple : 16/28 = (4×4)/(4×7) = 4/7
Pour additionner des fractions de dénominateurs différents, on les met d'abord au même dénominateur :
6/5 − 4/3 = 18/15 − 20/15 = −2/15
√ Racines carrées
Condition : √a n'existe (dans ℝ) que si a ≥ 0.
Exemple : √72 = √(36 × 2) = 6√2
Attention : √(a+b) ≠ √a + √b
📐 Puissances
Notation scientifique : a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10
Exemple : 0,00045 = 4,5 × 10⁻⁴
✏️ Développer & Factoriser
Développer :
Identités remarquables :
Factoriser : chercher le facteur commun, ou reconnaître une identité remarquable.
Exemple : x² − 9 = (x+3)(x−3)
⚖️ Équations
Méthode : isoler l'inconnue en effectuant les mêmes opérations des deux côtés.
Exemple : 3x − 7 = 2x + 5 → 3x − 2x = 5 + 7 → x = 12
Produit nul : si A × B = 0, alors A = 0 ou B = 0.
Exemple : (x−1)(5x−2) = 0 → x = 1 ou x = 2/5
📐 Théorème de Pythagore
Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Réciproque : si BC² = AB² + AC², alors le triangle ABC est rectangle en A.
Contraposée : si BC² ≠ AB² + AC², alors le triangle ABC n'est pas rectangle en A.
Exemple : AB = 3 cm, AC = 4 cm → BC = √(9+16) = √25 = 5 cm
📏 Théorème de Thalès
Si deux droites parallèles coupent deux sécantes, alors elles déterminent des segments proportionnels.
Réciproque : si AM/AB = AN/AC et si les points sont dans le même ordre, alors (MN) // (BC).
Exemple : AB = 6, AM = 2, AC = 9 → AN = 2×9/6 = 3
⚖️ Proportionnalité
Deux grandeurs sont proportionnelles si leur rapport est constant (coefficient de proportionnalité).
Produit en croix : a/b = c/d ⟹ a × d = b × c
Exemple : Si 5 kg coûtent 250 MRU, combien coûtent 8 kg ?
k = 250/5 = 50 MRU/kg → 8 × 50 = 400 MRU
📐 Périmètres, Aires et Volumes
| Figure | Périmètre | Aire |
|---|---|---|
| Rectangle (L, l) | 2(L + l) | L × l |
| Carré (c) | 4c | c² |
| Cercle (r) | 2πr | πr² |
| Triangle (b, h) | a + b + c | b × h / 2 |
| Trapèze (B, b, h) | somme côtés | (B + b) × h / 2 |
| Solide | Volume |
|---|---|
| Pavé (L, l, h) | L × l × h |
| Cube (a) | a³ |
| Cylindre (r, h) | πr²h |
| Cône (r, h) | πr²h / 3 |
| Pyramide (B, h) | B × h / 3 |
| Sphère (r) | 4πr³ / 3 |
📊 Statistiques & Probabilités
Médiane : valeur qui partage la série ordonnée en deux groupes de même effectif.
Étendue : valeur max − valeur min.
0 ≤ P(A) ≤ 1 | P(contraire de A) = 1 − P(A)
🔗 Systèmes d'équations
Système de deux équations à deux inconnues :
{ cx + dy = f
Méthode par substitution : isoler une inconnue dans une équation, la remplacer dans l'autre.
Méthode par combinaison (addition) : multiplier les équations pour éliminer une inconnue.
Exemple : { 2x + y = 7 ; x − y = 2 }
Addition : 3x = 9 → x = 3, puis y = 7 − 2×3 = 1. Solution : (3 ; 1).
📐 Trigonométrie dans le triangle rectangle
Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu α :
Valeurs remarquables :
| α | 30° | 45° | 60° |
|---|---|---|---|
| sin(α) | 1/2 | √2/2 | √3/2 |
| cos(α) | √3/2 | √2/2 | 1/2 |
| tan(α) | √3/3 | 1 | √3 |
Relation fondamentale :
📍 Coordonnées dans un repère
Dans un repère orthonormé (O, I, J) avec A(xₐ ; yₐ) et B(x_b ; y_b) :
Équation de droite : y = mx + p (m = coefficient directeur, p = ordonnée à l'origine).
Exemple : A(1 ; 2) et B(4 ; 6) → AB = √(9+16) = √25 = 5
📈 Fonctions affines
Une fonction affine est de la forme :
a = coefficient directeur (pente) — b = ordonnée à l'origine.
Si a > 0 : fonction croissante. Si a < 0 : fonction décroissante. Si a = 0 : fonction constante.
Si b = 0 : fonction linéaire f(x) = ax (proportionnalité).
Image : f(x₀) = a × x₀ + b. Antécédent : résoudre ax + b = y₀.
Exemple : f(x) = 3x − 2. Image de 4 : f(4) = 3×4 − 2 = 10. Antécédent de 7 : 3x − 2 = 7 → x = 3.
📐 Exemple 1 – Pythagore
Énoncé : Un triangle ABC est rectangle en A avec AB = 5 cm et AC = 12 cm. Calculer BC.
Solution :
Le triangle ABC est rectangle en A, donc d'après le théorème de Pythagore :
BC² = AB² + AC²
BC² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169
BC = √169 = 13 cm
📐 Simulation – Triangle de Pythagore
Modifie les côtés a et b pour voir l'hypoténuse c se calculer automatiquement.
📏 Exemple 2 – Thalès
Énoncé : Dans le triangle ABC, M est sur [AB] et N sur [AC] avec (MN) // (BC). On donne AM = 3, AB = 9 et AC = 12. Calculer AN.
Solution :
D'après le théorème de Thalès, puisque (MN) // (BC) :
AM/AB = AN/AC
3/9 = AN/12
AN = 3 × 12 / 9 = 36/9 = 4
📏 Simulation – Thalès interactif
Déplace le curseur pour voir la droite parallèle couper les côtés du triangle proportionnellement.
⚖️ Exemple 3 – Proportionnalité (produit en croix)
Énoncé : 5 kg de riz coûtent 250 MRU. Combien coûtent 8 kg ?
Solution :
Les grandeurs sont proportionnelles. On utilise le produit en croix :
5 kg → 250 MRU
8 kg → x MRU
x = 8 × 250 / 5 = 2000 / 5 = 400 MRU
✏️ Exemple 4 – Développer et factoriser
Énoncé (BEPC 2025) : Soit A = 25x² − 4 − (4x+3)(5x−2). Développer, réduire et ordonner A.
Solution :
A = 25x² − 4 − (4x+3)(5x−2)
Développons (4x+3)(5x−2) = 20x² − 8x + 15x − 6 = 20x² + 7x − 6
A = 25x² − 4 − 20x² − 7x + 6
A = 5x² − 7x + 2
Pour factoriser : On remarque que 25x² − 4 = (5x)² − 2² = (5x−2)(5x+2)
A = (5x−2)(5x+2) − (4x+3)(5x−2) = (5x−2)[(5x+2)−(4x+3)] = (5x−2)(x−1)
⭕ Simulation – Cercle, rayon et aire
Fais varier le rayon pour observer l'évolution du périmètre et de l'aire.
Périmètre = 18.85 cm | Aire = 28.27 cm²
🔗 Exemple 5 – Système d'équations
Énoncé : Résoudre le système : { 3x + 2y = 12 ; x − y = 1 }
Solution (méthode par substitution) :
De la 2ᵉ équation : x = 1 + y
On remplace dans la 1ère : 3(1 + y) + 2y = 12
3 + 3y + 2y = 12 → 5y = 9 → y = 9/5 = 1,8
x = 1 + 1,8 = 2,8
Vérification : 3(2,8) + 2(1,8) = 8,4 + 3,6 = 12 ✓ et 2,8 − 1,8 = 1 ✓
📐 Exemple 6 – Trigonométrie
Énoncé : Triangle ABC rectangle en A avec l'angle B = 30° et BC = 10 cm. Calculer AC (côté opposé à B).
Solution :
sin(B) = côté opposé / hypoténuse = AC / BC
sin(30°) = AC / 10
AC = 10 × sin(30°) = 10 × 0,5 = 5 cm
📍 Exemple 7 – Distance dans un repère
Énoncé : Dans un repère orthonormé, A(2 ; −2), B(3 ; 3), C(−2 ; 4). Calculer AB et déterminer la nature du triangle.
Solution :
AB = √[(3−2)² + (3−(−2))²] = √[1 + 25] = √26
AC = √[(−2−2)² + (4−(−2))²] = √[16 + 36] = √52
BC = √[(−2−3)² + (4−3)²] = √[25 + 1] = √26
AB = BC = √26, donc le triangle ABC est isocèle en B.
Vérifions : AB² + BC² = 26 + 26 = 52 = AC². Donc il est aussi rectangle en B (Pythagore).
📈 Exemple 8 – Fonction affine
Énoncé : Soit f(x) = −2x + 5. Calculer f(3), trouver l'antécédent de −1, et déterminer le sens de variation.
Solution :
Image de 3 : f(3) = −2×3 + 5 = −6 + 5 = −1
Antécédent de −1 : −2x + 5 = −1 → −2x = −6 → x = 3
Sens de variation : a = −2 < 0, donc f est décroissante.
Progression : 0 / 20 exercices complétés
Calcul Question 1 – Priorités opératoires
Calculer : 4 + 3 × 2² − 1 = ?
Fractions Question 2 – Fractions
Donner la fraction irréductible de 36/48 :
Algèbre Question 3 – Identités remarquables
Développer (x + 5)² = ?
Algèbre Question 4 – Factorisation
Factoriser : x² − 16 = ?
Équations Question 5 – Résolution d'équation
Résoudre : 5x − 3 = 2x + 9. x = ?
Pythagore Exercice 6 – Calculer l'hypoténuse
Triangle rectangle avec côtés a = 6 cm et b = 8 cm. Hypoténuse c = ?
Pythagore Exercice 7 – Trouver un côté
Triangle rectangle avec hypoténuse c = 13 cm et un côté a = 5 cm. Côté b = ?
Thalès Exercice 8 – Appliquer Thalès
(MN) // (BC). AM = 4, AB = 10, AC = 15. Calculer AN = ?
Thalès Exercice 9 – Thalès (suite)
(MN) // (BC). AM = 3, AB = 9, MN = 5. Calculer BC = ?
Proportionnalité Exercice 10 – Produit en croix
3 cahiers coûtent 120 MRU. Combien coûtent 7 cahiers ?
Racines Exercice 11 – Simplifier une racine
Simplifier √50. Donner le coefficient devant √2 (c'est-à-dire : ?×√2)
Statistiques Question 12 – Moyenne
Notes d'un élève : 8, 12, 14, 10, 16. Quelle est la moyenne ?
Aires Exercice 13 – Aire d'un cercle
Calculer l'aire d'un disque de rayon r = 7 cm. Donner la valeur arrondie à l'unité (prendre π ≈ 3,14).
Volumes Exercice 14 – Volume d'un pavé
Un pavé droit a pour dimensions L = 5 cm, l = 3 cm, h = 4 cm. Volume = ?
Probabilités Question 15 – Probabilité
On lance un dé à 6 faces. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ?
Systèmes Exercice 16 – Système d'équations
Résoudre : { 2x + y = 7 ; x − y = 2 }. Donner la valeur de x :
Coordonnées Exercice 17 – Distance dans un repère
A(1 ; 2) et B(4 ; 6). Calculer la distance AB :
Fonctions Question 18 – Fonction affine
Soit f(x) = 3x − 2. Quelle est l'image de 0 ?
Trigonométrie Exercice 19 – Côté opposé
Triangle rectangle en A, angle B = 30°, hypoténuse BC = 10 cm. Calculer AC (côté opposé à B) :
Volumes Exercice 20 – Volume d'une pyramide
Pyramide à base carrée, côté de la base = 6 cm, hauteur = 10 cm. Volume = ?
Q1 – Priorités : 4 + 3 × 2² − 1
2² = 4 → 3 × 4 = 12 → 4 + 12 − 1 = 15 (réponse b)
Q2 – Fraction irréductible : 36/48
PGCD(36, 48) = 12 → 36/12 = 3, 48/12 = 4 → 3/4 (réponse a)
Q3 – Identité : (x+5)²
(a+b)² = a² + 2ab + b² → x² + 2(x)(5) + 25 = x² + 10x + 25 (réponse b)
Q4 – Factorisation : x² − 16
a² − b² = (a+b)(a−b) → x² − 4² = (x+4)(x−4) (réponse b)
Q5 – Équation : 5x − 3 = 2x + 9
5x − 2x = 9 + 3 → 3x = 12 → x = 4 (réponse a)
Exo 6 – Pythagore : a=6, b=8
c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 → c = √100 = 10 cm
Exo 7 – Pythagore : c=13, a=5
b² = c² − a² = 169 − 25 = 144 → b = √144 = 12 cm
Exo 8 – Thalès : AM=4, AB=10, AC=15
AM/AB = AN/AC → 4/10 = AN/15 → AN = 4×15/10 = 6
Exo 9 – Thalès : AM=3, AB=9, MN=5
AM/AB = MN/BC → 3/9 = 5/BC → BC = 5×9/3 = 15
Exo 10 – Proportionnalité : 3 cahiers = 120 MRU
7 cahiers → x = 7 × 120 / 3 = 840/3 = 280 MRU
Exo 11 – Racines : √50
√50 = √(25×2) = √25 × √2 = 5√2 → coefficient = 5
Q12 – Moyenne : 8, 12, 14, 10, 16
(8+12+14+10+16)/5 = 60/5 = 12 (réponse b)
Exo 13 – Aire du disque : r = 7
A = π × r² = 3,14 × 49 = 153,86 ≈ 154 cm²
Exo 14 – Volume pavé : 5×3×4
V = L × l × h = 5 × 3 × 4 = 60 cm³
Q15 – Probabilité : nombre pair sur un dé
Cas favorables : {2, 4, 6} → 3 cas sur 6 → P = 3/6 = 1/2 (réponse b)
Exo 16 – Système : { 2x+y=7 ; x−y=2 }
Addition des deux équations : 2x+y+x−y = 7+2 → 3x = 9 → x = 3
Puis y = 7 − 2×3 = 1. Solution : (3 ; 1)
Exo 17 – Distance : A(1;2) B(4;6)
AB = √[(4−1)² + (6−2)²] = √[9 + 16] = √25 = 5
Q18 – Fonction affine : f(x) = 3x − 2, image de 0
f(0) = 3×0 − 2 = −2 (réponse a). C'est l'ordonnée à l'origine.
Exo 19 – Trigonométrie : angle 30°, BC = 10
sin(30°) = AC/BC → 0,5 = AC/10 → AC = 10 × 0,5 = 5 cm
Exo 20 – Volume pyramide : base carrée c=6, h=10
V = B × h / 3 = (6²) × 10 / 3 = 36 × 10 / 3 = 360/3 = 120 cm³
🔢 Calculs & Fractions
- Priorités : ( ) → puissances → × ÷ → + −
- Fractions : même dénominateur pour +/−
- Multiplier : numérateurs entre eux, dénominateurs entre eux
- Diviser : multiplier par l'inverse
- Simplifier par le PGCD
√ Racines & Puissances
- √(a×b) = √a × √b
- aⁿ × aᵐ = aⁿ⁺ᵐ
- aⁿ / aᵐ = aⁿ⁻ᵐ
- (aⁿ)ᵐ = a^(n×m)
- a⁰ = 1 (a ≠ 0), a⁻ⁿ = 1/aⁿ
✏️ Identités remarquables
- (a+b)² = a² + 2ab + b²
- (a−b)² = a² − 2ab + b²
- (a+b)(a−b) = a² − b²
- Équation produit : A×B = 0 ⟹ A=0 ou B=0
📐 Pythagore
- Triangle rectangle en A : BC² = AB² + AC²
- Réciproque : si c² = a²+b² → rectangle
- Contraposée : si c² ≠ a²+b² → pas rectangle
- Triplets connus : (3,4,5) (5,12,13) (6,8,10) (7,24,25)
📏 Thalès
- (MN)//(BC) → AM/AB = AN/AC = MN/BC
- Toujours vérifier le parallélisme
- Attention au sens des rapports
- Réciproque : rapports égaux + même ordre → parallèles
⚖️ Proportionnalité
- y = kx (k = coefficient)
- Produit en croix : a/b = c/d ⟹ ad = bc
- Pourcentage : t% de A = (t/100) × A
- Augmentation de t% : A × (1 + t/100)
- Diminution de t% : A × (1 − t/100)
📐 Périmètres & Aires
- Rectangle : P = 2(L+l), A = L×l
- Cercle : P = 2πr, A = πr²
- Triangle : A = b×h/2
- Trapèze : A = (B+b)×h/2
- Losange : A = d₁×d₂/2
📦 Volumes
- Pavé : V = L×l×h
- Cylindre : V = πr²h
- Cône : V = πr²h/3
- Pyramide : V = B×h/3
- Sphère : V = 4πr³/3, A = 4πr²
📊 Statistiques
- Moyenne = Σ valeurs / effectif total
- Médiane : sépare la série ordonnée en deux
- Étendue = max − min
- Moyenne pondérée : Σ(nᵢ×xᵢ) / Σnᵢ
🎲 Probabilités
- P(A) = nb favorables / nb total
- 0 ≤ P(A) ≤ 1
- P(Ā) = 1 − P(A)
- Événement certain : P = 1
- Événement impossible : P = 0
🔗 Systèmes d'équations
- Substitution : isoler une variable, remplacer dans l'autre
- Combinaison : additionner/soustraire pour éliminer
- Vérifier la solution dans les DEUX équations
- Solution = un couple (x ; y)
📐 Trigonométrie
- SOH : sin = opposé / hypoténuse
- CAH : cos = adjacent / hypoténuse
- TOA : tan = opposé / adjacent
- cos² + sin² = 1
- Valeurs clés : sin(30°)=1/2, cos(60°)=1/2, sin(45°)=√2/2
📍 Repère & Coordonnées
- Distance : AB = √[(xb−xa)² + (yb−ya)²]
- Milieu : M( (xa+xb)/2 ; (ya+yb)/2 )
- Coeff. directeur : m = (yb−ya)/(xb−xa)
- Équation de droite : y = mx + p
📈 Fonctions affines
- f(x) = ax + b (a = pente, b = ordonnée à l'origine)
- a > 0 → croissante, a < 0 → décroissante
- b = 0 → fonction linéaire (proportionnalité)
- Image : calculer f(x₀). Antécédent : résoudre f(x) = y₀
💡 Astuces pour le jour du BEPC
- Lire attentivement chaque énoncé avant de commencer
- Repérer les mots-clés : rectangle → Pythagore, parallèle → Thalès
- Faire un dessin pour chaque exercice de géométrie
- Vérifier les unités et les conversions
- Rédiger proprement : « D'après le théorème de... »
- Relire ses réponses avant de rendre la copie
- Ne pas laisser de question vide : tenter une réponse vaut toujours mieux